確率統計演習　5

確率統計演習　3
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「 統計物理学ハンドブック 」
鈴木増雄ら訳

確率統計演習　4

モ・踉札瓮鵐畔豐愎�

(1)　モ・踉札瓮鵐畔豐愎�(moment generatig function)は、 確率密度関数 をもちいて

で定義される。このとき、n次⑬のモーメント　 は、モ・踉札瓮鵐� 母関数をつかって、

と表せることを��┐察�

(2)　確率密度関数　 について、 モ・踉札瓮鵐畔豐愎瑤魑瓩瓩茵�泙拭�n次⑬のモーメントをモーメント母関数を つかって求めよ。

(3)　ポアッソン分布、 のモ・踉札瓮鵐畔豐愎瑤魑瓩瓩茵�泙拭∧�� をモ・踉札瓮鵐畔豐愎瑤� つかって求めよ。

(4)　n次⑬のキュムラント (cumulant) は、モ・踉札瓮鵐畔豐愎� をもちいて

で定義される。このとき、 を モ・踉札瓮鵐� をつかって表せ。

特性関数

(5)　特性関数(characteristic function)は、 確率密度関数 をもちいて

で定義される。このとき、n次⑬のモーメント　 は、特性関数をつかって、

と表せることを��┐察�

(6)　ガンマ分布、 の特性関数を求めよ。また、分散 を特性関数をつかって求めよ。

(7)　正弦分布、

の特性関数を0次⑬のベッセル関数

をつかって表せ。

(8)　平均 および標準偏差 をもつ 正規分布の特性関数が となることを��┐察�泙拭�1次⑬と2次のモーメントを特性関数から求めよ。

(9)　独立な確率変数　 および 　が、それう苳擦豎領��抓愎� および をもつとき、 二つの確率変数の和 にたいする確率密度関数 は、 で与えられる。ただし、 は、

で定義される、���濆�濱冓�任△襦�海里箸①� および の特性関数を および とすると、

となることを��斂世擦茵�

(10)　独立な確率変数　　が、 それう苳擦貶振� 　 と標準偏差 　 をもつ正規分布であるとき、 和　 は、平均と標準偏差が

の正規分布になることを��┐察�

中心極限定理の��斂�

(11)　独立な確率変数 の和 の確率密度関数 は、 の極限で、

ただし、

となって正規分布に近づくことを、独立な確率変数 が同一の確率密度関数 をもつ��豺� について、次⑬のようにして⑬証明せよ。

(A) 確率変数 を

とすると、zの特性関数が

となることを��┐后�

(B)括弧 [] の中を　 について展開して を��斂世垢襦�

(C) (A), (B)を使って、

を��斂世垢襦�