問10 スピンを持たない粒子が、 対称性 がなくエネルギー準位に 縮退 を作らないポテンシャルによって、ある固定された中心に 束縛 されている。 時間反転不変性 を用い、任意のエネルギー固有状態に対して
を証明せよ。(これは、 軌道角運動量の消失 と呼ばれている。) このような非縮退固有状態の波動関数が
のように展開されたとすると、に対してどのような 位相の制限 が つくか。
[解答] a. 時間反転不変な系では、固有状態は
となるので、とは同じエネルギーを持つ。 よって、エネルギー準位に縮退がなければ、位相因子を除いて
とおける。 軌道角運動量 演算子は、時間反転に関して奇 であるから、 恒等式(4.4.36)より
となり、
と結論される。 結晶中の電子のように、ポテンシャルの対称性が低いときは、軌道角運動量の消 失により、軌道磁気モーメントがゼロになることがある。
非縮退固有状態の波動関数を
とすると、時間反転した波動関数は
が成り立つ必要がある。