確率統計演習　2
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確率統計演習　１

確率

(1) 一組52枚のトランプカードから同時に3枚を引くとき、全部が スペードである確率を求めよ。

(2) N個のボールをN個の箱に無作為に振り分けるとき、おのおのの箱に 1個のボールだけが含まれる確率を求めよ。

(3) 袋の中に赤球が7個、白球が5個入っている。この袋の中から3個の 球を取り出すとき、2個が赤で1個が白である確率を求めよ。

デルタ関数、単位階段関数

(4) ディラックのデルタ関数　 と ヘビサイドの単位階段関数 について、 次の性質を証明せよ。

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

確率密度関数、累積分布関数

(5) 区間［0,10］から実数 を平等に選ぶとき、確率密度関数　 　および、累積分布関数 を求めよ。また、 になる 確率　 を求めよ。

(6) サイコロを振るとき得られる目の数を確率変数として、確率密度関数　 および累積分布関数 を求めよ。

(7) 確率分布が平均 および標準偏差 を持てば、 以上平均から外れた値を有する確率は、 以下となる。 すなわち、チェビシェフの不等式

が成り立つことをを証明せよ。

メジアン、モード、モーメント

(8) 確率変数 のメジアン（中央値）は、 を累積分布関数と したとき となる で定義される。確率密度関数が、

で与えられるとき、確率変数　 の中央値を決定せよ。

(9) 確率変数 のモードは、 の最頻値（most probable value） として定義される。確率密度関数が、

で与えられる確率変数のモードを求めよ。

(10) 確率密度関数が、

で与えられるとき、一次および二次中心モーメントを計算せよ。 また、n次中心モーメントを求めよ。

(11) 非対称性（asymmetry）または歪度（skewness）は、 で定義される。 次の確率密度関数に対する歪度を計算せよ。

(12) 尖度（excess,kurtosis）は、

で定義される。正規確率密度関数、

に対する尖度を計算せよ。

(13) コーシ分布（Cauchy distribution）

のモーメントは存在しないことを示せ。