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確率統計演習 3 Up: Problems Previous:

確率統計演習 1
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確率統計演習 2

二項分布

(1) ベルヌイ試行とは、成功 および、失敗 と呼ばれる 二つの可能な結果のみをもつ試行である。成功および失敗の確率は、 で与えられ、である。n回の試行のうちr回が 成功で(n-r)回が失敗である確率は、二項分布(binomial distribution)で 与えられる。二項分布の確率密度関数を求めよ。

(2) n回ベルヌイ試行をおこなうとき、成功の回数の平均および標準偏差は、 であることが知られている。  の 場合について、証明せよ。

(3) 10回硬貨を投げるとき、5回が表で5回が裏になる確率を求めよ。

ポアッソン分布

(4) ポアッソン過程(Poisson process)は、時間的に無規則(randomly)に 起こる多数の独立事象から成る。無限小時間  の間に一つの事 象が 起こる確率が :単位時間あたりに起こる事象の平均数) であるとき、ある有限な時間間隔 の間に 個の事象が起こる確率は ポアッソン分布(Poisson distribution)

で与えられる。時間間隔 の間に起こる事象の平均数および標準偏差を 求めよ。

(5) 二項分布  は、  を一定に 保って を大きく取ったとき、 Poisson分布

で近似されることを示せ。

(6) 平均  (電子/秒)の割合で熱陰極から電子が放射される とする。  秒の間に電子が全く放射されない確率  および、 電子が1個だけ放出される確率  を求め、  の関数として 図示せよ。

一様分布

(7) パラメータ  および  を持つ一様分布(uniform distribution) は、確率密度関数、

で定義される。平均値と標準偏差を求めよ。

(8) 区間[0,100]の実数を無作為に選び、最も近い整数にまるめる。確率変数   が、

で定義されるとき、  を求めよ。

正弦分布

(9) 変数 :範囲 で 一様分布)は、 正弦分布(sinusoidal distribution)しているという。 正弦分布の確率密度関数が

となることを示せ。

(10) 正弦分布の平均および標準偏差を求めよ。

正規分布

(11) 誤差関数(error function)は、

で定義される。  をつかって、   を表せ。

(12) 正規分布、

の累積分布関数を  をつかって表せ。

(13) 二項分布  は、  を一定に 保って を大きく取ったとき、 , で表される正規分布で近似されることを示せ。

ヒント:Stirlingの公式

を  に適用し、 を有界な範囲に 保ちながら、 の近似をとる。



Toshiaki Iitaka
1996年07月26日 (金) 13時09分15秒 JST