確率統計演習　3

確率統計演習　１
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確率統計演習　2

二項分布

(1)　ベルヌイ試行とは、成功 および、失敗 と呼ばれる 二つの可能な結果のみをもつ試行である。成功および失敗の確率は、 で与えられ、である。n回の試行のうちr回が 成功で(n-r)回が失敗である確率は、二項分布（binomial distribution）で 与えられる。二項分布の確率密度関数を求めよ。

(2)　n回ベルヌイ試行をおこなうとき、成功の回数の平均および標準偏差は、 であることが知られている。　　の 場合について、証明せよ。

(3)　10回硬貨を投げるとき、5回が表で5回が裏になる確率を求めよ。

ポアッソン分布

(4)　ポアッソン過程（Poisson process）は、時間的に無規則（randomly）に 起こる多数の独立事象から成る。無限小時間　　の間に一つの事 象が 起こる確率が　 （：単位時間あたりに起こる事象の平均数） であるとき、ある有限な時間間隔 の間に 個の事象が起こる確率は ポアッソン分布（Poisson distribution）

で与えられる。時間間隔 の間に起こる事象の平均数および標準偏差を 求めよ。

(5)　二項分布　 は、　 を一定に 保って を大きく取ったとき、　Poisson分布

で近似されることを示せ。

(6)　平均　 （電子／秒）の割合で熱陰極から電子が放射される とする。　　秒の間に電子が全く放射されない確率　　および、 電子が1個だけ放出される確率　　を求め、　　の関数として 図示せよ。

一様分布

(7)　パラメータ　　および　　を持つ一様分布（uniform distribution） は、確率密度関数、

で定義される。平均値と標準偏差を求めよ。

(8)　区間[0,100]の実数を無作為に選び、最も近い整数にまるめる。確率変数 　　が、

で定義されるとき、　 を求めよ。

正弦分布

(9)　変数　 （：範囲 で 一様分布）は、 正弦分布（sinusoidal distribution）しているという。 正弦分布の確率密度関数が

となることを示せ。

(10)　正弦分布の平均および標準偏差を求めよ。

正規分布

(11)　誤差関数（error function）は、

で定義される。　 をつかって、　　 を表せ。

(12) 正規分布、

の累積分布関数を　 をつかって表せ。

(13)　二項分布　 は、　 を一定に 保って を大きく取ったとき、 , で表される正規分布で近似されることを示せ。

ヒント：Stirlingの公式

を　　に適用し、 を有界な範囲に 保ちながら、 の近似をとる。