確率統計演習 7 Up: Problems Previous:
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(1-a) 時刻
で速度
をもつ微粒子（ブラウン粒子）が液体中で
粘性抵抗
を受けるときの運動方程式およびその解 
を求めよ。
代表的な値 
を用いて、
微粒子の速度が初期値の
になる時間 
を求めよ。
(1-b) エネルギー等分配則によると、熱平衡にある粒子の並進運動の自由度1つ
に分配されるエネルギーは
である（kはBoltzman定
数）。
常温でこのエネルギーは何Jになるか。
(1-c) ブラウン粒子は1分間に
程度動くことが知
られている。
ブラウン粒子の質量を 
として、運動エネルギーを推定せよ。
これを前問の結果と比較して議論せよ。
(2) ランジュバンは、ブラウン運動を説明するために微粒子と液体の粒子との
衝突によるランダムな力の項 
を運動方程式に付け加えた。 (Langevin方程式)
(2-a)両辺に 
をかけて
を導け。
(2-b) 上の方程式の集団平均をとり、等分配則
を用いて
に対する方程式
を導け。
(2-c)方程式
のグリーン関数が
となることを示せ。
(2-d) 初期条件 
とグリーン関数を用いて方程式をとき、
zを
から
まで積分して
を証明せよ。
(3-a) 前問ののグリーン関数をもちいて
の解が
となることを示せ。
(3-b) 粒子の位置のずれ及びずれの自乗の集団平均が相関関数をもちいて、
に対して、
と書けることを示せ。
(3-c) 問題(3)の結果と比較して、
と書けることを示せ。
(4) 平衡な集団において、相関関数
は、次の性質を持つことを説明せよ。
