(1) 確率過程
と
を考える。
は区間
で一様に分布している確率変数である。
X(t)とY(t)の相互共分散関数
を求めよ。
(2) 一回の試行で成功する確率がpである試行をn回行ったとき、
成功の回数を
とする。
となる確率は、
となることを示せ。
(3) 一次元酔歩問題を考える。原点から出発してコインを投げて
表が出れば右に一歩、裏が出れば左に一歩進む。n回コインを投げたとき
表が出た回数がkであれば裏はn-k回出たことになり、右に2k-n歩進んだ
ことになる。n回コインを投げたとき右に
歩進む確率は、
表が出る確率をpとすれば、
となることを示せ。
(4) ある事象が単位時間当り平均 
の割合でランダムに
起こる。このとき、時間間隔 [0,t] の間にその事象が起こる回数を
N(t) とする。
時間間隔 [0,t] をn個の小時間 
に分割して、
次のことを仮定する。
［１］ 一つの小時間の間に２回以上事象が起こる確率は、 無視出来る。
［２］ 一つの小時間の間に事象が起きるかどうかは、 他の小時間の間に事象が起きたかどうかに無関係である。
このとき 
とすれば、(2)の問題の結果を
使える。 
とすれば、
となる
確率は、ポアッソン分布
で与えられることを示せ。このような確率過程をポアッソン過程 と呼ぶ。
(5) ある窓口には、１時間に１５人の割合で客が来る。ある１時間の うち最初の１０分間に来た客が３人で、最後の１５分間に来た客が２人 である確率を求めよ。
(6) 問題(3)で、
秒に一回コインを投げ、一回の歩幅をhとする。
時間tには、
回コインを投げたことになる。このとき、
右に移動した距離を 
とすれば、
となることを示せ。また、
の関係を
保って、
の連続極限を
とれば、
となることをしめせ。このとき、X(t)の確率密度関数は、
となることをしめせ。