第１部：ダイソン級数
【１】 相互作用表示での時間発展演算子
を
と定義する。 相互作用表示の状態ケットの時間発展に対する微分方程式は
で表されることを用いて、時間発展演算子に対する微分方程式
を導け。
【２】 初期条件
を用いて微分方程式(2)の両辺を積分することにより、
に対する積分方程式
を導け。
【３】 方程式(3)の解は、逐次近似により、 ダイソン級数
の形に書けることを示せ。
摂動
は演算子であるから、
一般に異なる時間の摂動演算子は交換不可能である
こと、すなわち
に注意せよ。
【４】 （発展問題）
異なる時間の摂動演算子が交換可能である特別な場合
、すなわち
のとき、ダイソン級数は足し合わせることができて
となることを示せ。
第２部：遷移確率
【５】 相互作用表示での時間発展演算子の定義(1) より、
と表せることを示せ。ただし、
はシュレーディンガー表
示での
時間発展演算子である。
【６】 時刻
に
のエネルギー固有状態
にあった系が、
時刻tに
のエネルギー固有状態
に
遷移する確率は、シュレーディンガー表示では
で与えられる（ＪＪ２章参照）。相互作用表示でも
で与えられることを示せ。
【７】 位相を適当に選んで、
となるようにする。相互作用表示による時刻tの
ケットは
と書けることを導け。
【８】 係数
を摂動
で展開すれば、
となることを示せ。
【９】 １次元調和振動子が、t<0で基底状態にあった。
でこの系に
時間依存性はあるが空間的には一様な力（ポテンシャルではない）
が、x方向にかかった。
時間を含む１次の摂動論を用い、t>0で振動子が第１励起状態に
見いだされる確率を求めよ。
（
は有限）の極限で、
この結果は時間に依らないことを示せ。これはもっともな結果か、意外な結果か。
［
を用いるとよい。］
